Мне кажется, подробности не очень кинематографичны. Но если они необходимы, то я знаю, что заявление регистрируется в журнале в канцелярии отделения милиции секретарём (как правило, это молодая женщина). Заявлению присваивается входящий номер.
На первоначальном этапе этой бумагой, беседой с родителями и свидетелями будет заниматься участковый (как правило, старший лейтенант или капитан). Всё остальное - по факту сбора им информации. Если есть явные признаки похищения или другого преступления - немедленно возбуждается уголовное дело... Не дай Бог